セルフパワー演算

私は評価会議のためにグレースの向かいに座りました。私たちの間には小さなホワイトボードとエキスポマーカーしかありませんでした。「微分を求めるために積の法則を使う必要があるような関数を考え出すことはできますか？」彼女はホワイトボードに関数を書いた。「ここでプロダクトルールを使う必要があるとどうしてわかるんですか？」聞いてみた。彼女は、「私が思いついた関数は他の2つの関数の積だからです」と説明しました。そこで、私は彼女にべき乗則を適用して、彼女が書いた関数の導関数を取るように促しました。

別の世界では、5つの関数と「べき乗則を使って各関数の導関数を取る」というプロンプトを使った鉛筆と紙のテストを行うだけでよかったでしょう。生徒一人ひとりが黙々と答え、私はその答えを確認していました。

グレースに自分で問題を生成させることで、私はいくつかの異なることを成し遂げました。まず、彼女は権力規則の文脈と目的、そしてそれをいつ使う必要があるのかを理解していることがわかりました。彼女が簡単に例を思いついたので、この評価に備えて他にもたくさんの例を考え出していたことがわかりました。彼女の例を作成するには、他の 2 つの関数の積である関数を作る必要がありました。また、どの 2 つの関数を含めるかという彼女の選択に基づいて、他の関数の導関数を取り入れることに対する彼女の満足度を判断することもできました。快適度が高い学生は、各コンポーネントに2つの複雑な機能を使用し、快適性の低い学生は2つの単純な機能を選択するかもしれません。

この例は、生徒に自分で数学を作ってもらうことの素晴らしい利点を強調しています（これの意味については後で詳しく説明します）。そうすることで、生徒はつながりを築き、批判的に考え、より深く学び、知識をより簡単に伝えることができるようになります。どの生徒にも入口があり、自然に差別化を図ることができ、カンニングはほぼ不可能です。

学生主導の数学は、さまざまな形をとることができます。この記事ではそれぞれについて説明します。学生は自分で以下を生成できます。

解決すべき問題
分析すべき間違い。
プロジェクトへの質問の促進
数学的真理についての推測

いずれの場合も、生徒が学んだことを応用して独自の「数学」を作成します。

学生が作成した質問

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高校での私の最も記憶に残る経験の1つは、数学の試験の準備でした。私たちは円のセクタの面積（ピザのスライスの形）を求めることを学びました。勉強するために、次から次へと問題を繰り返して練習しました。試験の前夜、私は半熟睡状態で、「下の影の部分のような形の領域はどうやって見つけられるんだろう？」と思いました。

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私はベッドから出て、その問題に取り組みました。驚いたことに、試験でも非常によく似た問題がありました！自分で例を出してセルフテストをすることで、クラスメートよりも準備が整いました。この問題を解決する方法は今でも覚えています。

学生が作成した質問にはさまざまなものがありますが、本日の投稿では、コンテンツ関連の質問に焦点を当てます。（学生が尋ねる幅広い種類の質問、特に「不思議」カテゴリの質問に興味がある場合は、私の本をチェックしてください。」面白い教室をつくる」)。

サークルテストでの私の記憶は、学生が作成した質問について一連の研究によって証明できたことを例示しています。ノートの復習と比較して、授業の終わりや試験の前に問題のリストを書くことで、学生は事実を思い出しやすくなり、転送タスクを無事に完了できます（King、1989 & Ebersbach et al。、2020）。

さらに、学生が自分で質問をするときは、教材についてより深く考える必要があります。通常、生徒は手順を学び、それを最初から最後まで日常的に実行するように求められます。手順が必要な質問を考え出すことで、手順の背景を理解し、適切に適用できるようになります。

数学の学生にコンテンツに関する独自の質問を作成するように促す方法はたくさんあります。私のお気に入りのものをいくつかご紹介します。

学生主導のカンファレンス：冒頭のビネットで示したように、学生と一緒に座って口頭で評価してください。生徒に、独自の質問例を考え出して、教材に関する知識を示してもらいます。
セルフテスト:生徒に自分でテスト問題を書いてもらい、クラスメートにクイズに使ってもらいます。このタスクは、重要なアセスメントの直前に割り当てることも、各授業期間の終わりに定期的に振り返りとして割り当てることもできます。
逆多肢選択式:セルフテストと同様:多肢選択式の質問に対する回答を生徒に与え、その結果となる質問と他の選択肢を生成するように求めます。これにより、生徒はよくある間違いや誤解（次のセクションで説明します）についても考えなければなりません。

学生が犯した間違い

数学は、学生が特に間違いを恐れる分野です。間違った手書きでどこかでマイナス記号が失われると、長い計算が終わる頃には「壊滅的な」結果になることがあります。少なくとも、最終的に「正しい」答えが得られなかった学生にとっては、壊滅的な事態に感じるかもしれません。生徒が間違いを指摘し、それが学習の一部であることを認識できるようにするための私のお気に入りの方法の1つは、生徒に意図的にエラーを起こさせることです。

私は、少人数の学生グループが、自分が見たり犯したりしたよくある間違いを振り返るというプロトコルを使っています。

問題を書いて解決する 間違って、 意図的にミスをする。
全員がローテーションし、次のグループがエラーを見つけて問題を正しく解決します。
最後に、3 番目のグループでは、正しくない作業と正しい作業の両方を調べて、それぞれの解決策の背後にあるロジックについて説明します。

この手順については、で詳しく説明します。このエデュートピアの投稿. どの生徒にもエントリーポイントがあるので、このアクティビティが大好きです。彼らは皆間違いを犯したことがあり、それぞれが何かを掲示板に持ち込んで議論することができます。

学生向けPBL

生徒に授業で手綱を握ってもらう最も強力な方法の1つは、プロジェクトベースの学習ユニット向けに独自のドライビングクエスチョンをデザインする機会を与えることです。すべての学習ユニットが、学生がプロジェクトを最初から最後まで設計できるわけではありません。実際、すべてのユニットがプロジェクトベースの学習に役立つわけではありません！しかし、ここで学生が主導権を握ることができる機会を探すことをお勧めします。

私の経験では、統計学は学生が自分でリサーチクエスチョンをデザインするのに自然な場です。ここでは、私が統計学の授業で進行役を務めたPBLユニットと、そこで生み出された質問の例をいくつかご紹介します。

観察研究：生徒に小学校で観察研究をしてもらうように組織しました。彼らが研究のために考案した重要な質問には、「生徒の人種や性別と、授業への参加との間に関係があるのか」というものがありました。「学生は男性教師と女性教師のどちらが授業に参加する傾向が強いですか？」「学生の参加率は一日の間にどのように変動しますか？」これらの質問をデザインした後、生徒たちは自分で整理しました。彼らはデータ収集方法を考案し、すべての学生ではなく母集団のサンプルを観察する場合のベストプラクティスについて真摯に話しました。
データの表現：学生向けに約12のデータセットをcsv形式でキュレーションし、2日間かけて各データセットを簡単に調べてもらい、どれが興味をそそったかを確認してもらいました。学習する対象を 1 つ選択すると、そのデータを使用して回答できる 5 つの質問が生成されました。それぞれの質問について、結論を裏付けるデータの視覚的表現と数値的表現の両方を作成しました。
仮説検定:「統計を使って不正を見抜くことはできるか？」という質問を、クラス全体でまとめました。その中で、学生たちはさまざまな問題と、より具体的な、探求すべき自分なりの導きとなる質問を特定しました。例としては、「人種と大学入学の間に統計的に有意な関係があるか？」などがあります。、「ワシントンDCの薬物過剰摂取率と米国全体との間に統計的に有意な差はありますか？」、「警察による殺害件数と収入水準との間には統計的に有意な関係があるか？」および「政府の種類と栄養失調率との間には、統計的に有意な相関関係があるか？」それぞれの質問に答えるには、学生は適切なデータセットを見つけて、2サンプルのt検定、ANOVA検定、カイ二乗検定、線形回帰の傾きに対するt検定などの仮説検定を行う必要がありました。

これらすべてのプロジェクトで、学生は各ユニット内のコンテンツ基準を満たしていましたが、自分の好奇心を探求してそれを達成していました。

学生が作成した予想

私の夫が離散数学を教えていたとき、彼はミニユニットを設計しました。そこでは、学生たちが「数学は発見されたのか、それとも発明されたのか？」という質問について議論しました。この哲学的な難問にどう答えたとしても、1つだけ確かなことがあります。それは、数学の概念は美しく予測可能なパターンと一致しているということです。適切な足場があれば、学生はこうしたパターンを注意深く観察することで、自分で推測を練ることも、数学的な真理を自分で発見することもできるようになります。

生徒が「自分なりの数学を発見する」授業は、「」のデザインを踏襲しています。帰納学習。」ここでの考え方は、学生が勉強できるようにさまざまな例を用意することです。次に、学生はパターンを探し、その背後にある数学的真理について推測します。次に、新しい一連の例で自分の推測を検証し、仮説を洗練させます。

こちらはレッスン例これは、微積分学前の学生が垂直方向と水平方向の漸近線を決定するためのルールを特定できるようにするために設計したものです。

帰納的学習に自然に役立つ数学レッスンの例を他にもいくつか紹介します。